Si fa presto a dire teorema di Pitagora: la scoperta dei numeri irrazionali

Un professore su Tik Tok (@3minuticolprof) mi ha fatto conoscere una bellissima dimostrazione ad opera del filosofo greco Ippaso, che oltre ad essere geniale nella sua semplicità spiega bene la differenza tra numeri razionali e irrazionali.

Premessa: I Pitagorici pensavano che tutti i numeri potessero essere espressi come rapporto tra due numeri.

Questo consentiva di esprimere numeri infiniti ma periodici. Oggi chiamiamo questo insieme quello dei numeri Razionali (=Ratio, rapporto).

Per es 0,33333… puo’ essere espresso come 1/3
Questi e altri infiniti quindi erano abbastanza controllabili ed esprimibili come rapporti tra due numeri finiti.

L’infinito ai greci dava un po’ noia, e stimolava discussione tra filosofi (es il paradosso di Zenone su “Achille e la tartaruga“, ma non solo);  tutto cio’ sara’ risolvibile con la corretta formalizzazione del principio di limite e attraverso l’Analisi matematica, a dimostrazione del fatto che non era cosi’ banale.

I Pitagorici si erano accorti che esprimere π in questo modo non era preciso, ma pensavano che prima o poi avrebbero trovato una frazione per acchiapparlo.

In particolare il teorema di Pitagora applicato ad un triangolo rettangolo inscritto in un quadrato, diceva che la diagonale del quadrato doveva valere un numero che moltiplicato per se’ stesso doveva fare 2.

Ippaso dimostro’ che √2 non poteva essere espresso come rapporto di due numeri.

La dimostrazione e’ semplice e geniale.

Per prima cosa facciamo tre osservazioni:

1. Il quadrato di un numero pari e’ un numero pari. Il quadrato di un numero dispari e’ un numero dispari.
2. Se un numero e’ P e’ pari si puo’ scrivere come 2X dove X e’ intero
3. Se in una frazione per es a ⁄b sia a che b sono pari, e’ possibile semplificarla ulteriormente dividendo per due.
   Per cui in una frazione ridotta ai minimi termini, numeratore e denominatore non possono essere  entrambi pari.

Per cui supponiamo che esista una frazione, gia’ ridotta ai minimi termini, per cui

a/b =√2

Se eleviamo al quadrato da entrambe le parti risulta

a²/b² = 2

e poi

a² = 2b²

Per cui a e’ pari e possiamo scriverlo come 2X se lo sostituiamo e andiamo avanti avremo

(2X)²=2b²

4X²=2b²

Dividiamo per 2 e otteniamo

2X²=b²

Per cui se il quadrato di b e’ pari, ne deduciamo che anche b e’ pari.

Ma l’ipotesi era che a/b fosse gia’ ridotta ai minimi termini, e quindi a e b non possono essere entrambi pari!
Siamo ad un paradosso.
L’unica soluzione e’ che sia sbagliata l’ipotesi: per cui ne deduciamo che e’ IMPOSSIBILE che esista una frazione che esprima √2

Ora vi lascio immaginare come la presero i Pitagorici. Il quadrato era considerato una figura perfetta, e sapere che al suo interno la diagonale non era misurabile (benche’ tranquillamente disegnabile) era una specie di eresia… e poteva minare anche le loro credenze esoteriche.

Per cui uccisero Ippaso, sperando che la sua dimostrazione morisse con lui, ma per fortuna questo non avvenne.